☛ Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Énoncé

L'espace est muni d'un repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ .

1. Soit $d$ la droite passant par $\text{A}(-1;-2;0)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ . Donner une représentation paramétrique de $d$ .

2. Soit $d$ la droite passant par $\text{A}(2;-1;1)$ et $\text{B}(-2;1;3)$ . Déterminer une représentation paramétrique de $d$ .

Solution

1. Un point $\text{M}(x;y;z)$  appartient à la droite  $d$  si et seulement s'il existe un réel  $t$  tel que  $\{\begin{array}{l}x=-1+t\times 0\\ y=-2+t\times (-1)\\ z=0+t\times 1\end{array}$ .
Une représentation paramétrique de $d$  est alors :  $\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-2-t\\ z=t\end{array}$ , avec $t\in \mathbb{R}$ .

2.    La droite  $d$ passe par $\text{A}$  et a comme vecteur directeur  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ . 
Une représentation paramétrique de $d$  est alors :  $\{\begin{array}{l}x=2-4t\\ y=-1+2t\\ z=1+2t\end{array}$ , avec $t\in \mathbb{R}$ . 

Remarque

Dans cette dernière question, on aurait pu choisir le point $\text{B}$ à la place du point $\text{A}$  comme point de la droite $d$ . De même, on aurait pu choisir comme vecteur directeur de la   droite $d$ un multiple non nul du vecteur $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$ , par exemp le  $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ .